単振り子(単振動)の運動方程式(微分)を解く(エクセルを用いたルンゲクッタ法)

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図1 単振り子の説明

単振り子の運動方程式


 単振り子の運動方程式は

 
 d2θ/dt2 = -(g/l)sinθ  ・・・ (1)

     l :振り子の糸の長さ
     θ:糸が鉛直方向となす振れの角
      :経過時間
      :重力の加速度(9.8)

と書ける。(振り子の質量(m)は振り子運動に影響しない)

この方程式は非線形であって、解析解は楕円関数で表現される。

 振れの角θが小さいとき、sinθ≒θとなり、(1)式は単振動の式

   d2θ/dt2 = -(g/l)θ  ・・・ (2)

となる。

(2)式の解は

   θ=2k・sin{√(g/l)・t}

となり。振幅(k)、周期(T = 2π√(g/l))の単振動を表す。

(1)式の解析解は難しい楕円関数で表現されるが、ルンゲクッタ法に
よる数値積分は容易である。


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単振り子の1階連立微分方程式


 単振り子の運動方程式(@式)は2階微分方程式である。
ルンゲクッタ法は1階連立微分方程式の解法である。そのため@式を1階連立微分方程式に変換する。

角速度(ω)は時間(sec)あたりの角度(ラジアン)変化である。よって、

  d
θ/dt = ω
                     単位換算 : 180度=πラジアン です。
となる。

角速度(ω)を使うと、@式は

  dω/dt = -(g/l)sinθ
   dθ/dt = ω

の1階連立微分方程式で表現できる。また関数F、Gを使い、

  dω/dt = F( t , ω, θ)      F( t , ω, θ) = -(g/l)sinθ
  dθ/dt = G( t , ω, θ)      G( t , ω, θ)= ω

と表現できる。



4次のルンゲクッタ法


 次の1階連立微分方程式で説明する。

 dω/dt = F( t , ω, θ)
 dθ/dt = G( t , ω, θ)

 F,Gは時間tと変数 ω,θの関数

初期値 t=t0 の時、ω=ω0,θ=θ0 とすると、Δt後の変数値は下式となる。

  k1 = Δt・F( t0, ω0, θ0)
  m1 = Δt・G( t0, ω0, θ0)

  k2 = Δt・F( t0+Δt/2,ω0+k1/2, θ0+m1/2)
  m2 = Δt・G( t0+Δt/2, ω0+k1/2, θ0+m1/2)

  k3 = Δt・F( t0+Δt/2, ω0+k2/2, θ0+m2/2)
  m3 = Δt・G( t0+Δt/2, ω0+k2/2, θ0+m2/2)

  k4 = Δt・F( t0+Δt, ω0+k3, θ0+m3)
  m4 = Δt・G( t0+Δt, ω0+k3, θ0+m3)

  k = (k1+2・K2+2・k3+k4)/6
  m = (m1+2・m2+2・m3+m4)/6

Δt後の変数値ω1,φ1は

  ω1 = ω0 + k
  θ1 = θ0 + m

となる。

この手続きを繰り返せば、離散的だが、すべての時間での変数値が求まる。
ちなみに、Δtは0.01秒のような微小値を設定する。
Δtが大きすぎると解が発散する場合がある。

計算量が多いので、手計算は困難です。EXCELなどを使って計算しましょう。



エクセルを用いたルンゲクッタ法


 ルンゲクッタ法を用い単振り子の2階連立微分方程式を解いて見ましょう。

振り子の糸の長さ(l) = 0.5m とします。

振れの角度(θ)= 1ラジアン = 180/π度 = 57.3度からスタートします。

すなわち、初期値は
 
  t0=0秒
  ω0=0ラジアン/秒
  θ0=1ラジアン

となります。

エクセルを用いたルンゲクッタ法 を参照し、エクセルシートに計算式を作り、繰り返し計算のためのVBAを作って
下さい。


                    図2 単振り子の位置、角速度を解析するためのエクセルシート

計算の繰り返し処理のため、VBAです。


                 図3 ルンゲクッタ法のための計算繰り返し用VBA

 ルンゲクッタ法による微分方程式の計算結果を図4と図5のグラフにしました。


                             図4


                             図5




振り子振動の周期と等時性


 単振動の周期の理論解は(3)式となる。

  T0 = 2π√(l/g)     ・・・・・ (3)

周期とは、振り子が1回振動するのに要する時間(秒)である。

振り子の糸の長さ(l) = 0.5m の場合、(3)式より

  T0 = 1.4192秒  となる。

振れの角度(θ)が大きい場合、周期は近似的に(4)式となり、そのグラフ
は図6となる。

  T = T0(1+θ2/16)   ・・・・・ (4)


                    図6

振れの角度(θ)=1の場合、

  T = 1.5079秒 となり、ルンゲクッタ法による解析結果と良く一致している。

ふれの角度が1ラジアン=57°以下ならば振り子の周期はほとんど振幅に
無関係である。

これは振り子の等時性と呼ばれる性質である。



振り子に大きな初速(角速度)を設定すると?


 単振り子に大きな初速(角速度)を設定し、運動方程式を解くとどうなるでしょう。

初期角速度(ω)= 9ラジアン/秒 を設定してみましょう。

すなわち、初期値は
 
  t0=0秒
  ω0=9ラジアン/秒
  θ0=0ラジアン

とする。


            図7 大きな初速度を振り子に設定した場合の解析結果とそのグラフ

初速(角速度)が大きい場合、単振り子は振動せず、回転しています。(振り子ではありません)


参考文献
数値積分法の基礎と応用
日本機械学会編


Runge-Kutta-Fehlberg法


 新潟大学工学部化学システム工学科からの依頼により、エクセルを用いたRunge-Kutta-Fehlberg法を製作しました。Runge-Kutta-Fehlberg法は誤差をチェックし、時間刻み幅を変更しながら計算するため、通常のルンゲクッタ法と比較して非常に精度が良い方法です。通常のルンゲクッタ法では発散してしまう温度境界層問題も解けます。Runge-Kutta-Fehlberg法によるVBAは化学工学(反応速度式などに適応)のみならず機械工学にもたいへん有用と思われます。この常微分方程式解法シート(ITOシート)は新潟大学の化学工学資料のページからダウンロードできます。

参考 : 化学工学資料のページ   Excelで気軽に化学工学

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上記振動解析において、4次のルンゲクッタ法とRunge-Kutta-Fehlberg法を比較しました。Runge-Kutta-Fehlberg法はエネルギー保存則(運動エネルギー+バネのエネルギー)を満たしており、ひじょうに精度の良い解法であることがわかる。また4次のルンゲクッタ法より精度が良いにもかかわらずその演算時間が格段に小さく、性能が優れていることが解る。

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計算が難しいといわれているクロソイド曲線も容易に算出できる。

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(Yahoo Japan 掲載)


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