エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法によりローレンツ微分方程式を解く

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図1 ローレンツの蝶


ローレンツの微分方程式


 ローレンツの微分方程式を次にしめす。


 dx/dt = -σx + σy

 dy/dt = γx - y - xy

 dz/dt = bz + xy

     x : x座標値
     y : y座標値
     z : z座標値
     t : 時間

 パラメーター

 α=10
 b=8/3
 γ=28


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エクセルを用いて微分方程式を解く



 新潟大学工学部の伊東章先生からルンゲクッタフェールベルグ(Runnge-Kutta-Fehlberg)法による常微分方程式解法シート作成を依頼された。そのシートを用い微分方程式を解いてみよう。図2のように、ローレンツ曲線も容易に算出できる。


                   図2 常微分方程式解法シート(ルンゲクッタフェールベルグ法)



 



Runge-Kutta-Fehlberg法


 新潟大学工学部化学システム工学科からの依頼により、エクセルを用いたRunge-Kutta-Fehlberg法を製作しました。Runge-Kutta-Fehlberg法は誤差をチェックし、時間刻み幅を変更しながら計算するため、通常のルンゲクッタ法と比較して非常に精度が良い方法です。通常のルンゲクッタ法では発散してしまう温度境界層問題も解けます。Runge-Kutta-Fehlberg法によるVBAは化学工学(反応速度式などに適応)のみならず機械工学にもたいへん有用と思われます。この常微分方程式解法シート(ITOシート)は化学工学資料のページからダウンロードできます。

参考 : 化学工学資料のページ   Excelで気軽に化学工学

エクセルを用いたルンゲクッタ法による多質点系バネマスモデルの振動解析

上記振動解析において、4次のルンゲクッタ法とRunge-Kutta-Fehlberg法を比較しました。Runge-Kutta-Fehlberg法はエネルギー保存則(運動エネルギー+バネのエネルギー)を満たしており、ひじょうに精度の良い解法であることがわかる。また4次のルンゲクッタ法より精度が良いにもかかわらずその演算時間が格段に小さく、性能が優れていることが解る。

エクセルを用いたルンゲクッタフェールベルグ法によるクロソイド曲線(緩和曲線)

計算が難しいといわれているクロソイド曲線も容易に算出できる。

ルンゲクッタフェールベルグ法により電気回路方程式を解く

電気回路にも適用できる。

Excelを用いてラグランジュポイントにおける物体の運動方程式を解く
(決して宇宙人には教えないで下さい)


ラグランジュポイントでは物体は奇妙な運動を行う。


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ルンゲクッタ法で脱線事故シミュレーション
(Yahoo Japan 掲載)


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