エクセルを用いた三角形、多角形(ポリゴン)の重心計算

        

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         図1 重心計算する多角形(ポリゴン)のグラフ

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多角形(ポリゴン)の定義


多角形の重心を求めよう。

n多角形はn個の点座標(x,y)で表現できる。

点1 (x1,y1)
点2 (x2,y2)
点3 (x3,y3)
点4 (x4,y4)
    ・
    ・
点n (xn,yn)



三角形の重心計算


 三角形の場合、次の3点の頂点で構成されている。

点1 (x1,y1)
点2 (x2,y2)
点3 (x3,y3)

三角形の重心の公式より、重心(xg,yg)は次式となる。

 xg = ( x1 + x2 + x3 )/3
 yg = ( y1 + y2 + y3 )/3



原点と2点で作る3角形の面積



図2 3角形の面積計算の説明


 図2のような、原点(0,0)と点1(x1,y1), 点2(x2,y2)で構成される3角形の面積を求める。

ベクトル(x1,y1)とベクトル(x2,y2)が作る平行四辺形の面積(C)は

 C = x1・y2 - y1・x2 となる。

参照 : エクセルを用いたベクトルの外積計算

三角形の面積(S)は平行四辺形の半分である。

よって、

 S = C/2

となる。



3角形の面積、重心を積算し、多角形の重心を求める


図3 多角形(ポリゴン)の重心計算の説明


 図3のように、多角形を分割した3角形の面積と重心を積算し全面積で割れば、n多角形の重心(xg,yg)となる。

 xg = (S1・x1 + S2・x2 + ・・・ Sn・xn)/St

 yg = (S1・y1 + S2・y2 + ・・・ Sn・yn)/St

        S1,S2,・・・Sn : 三角形の面積
         St = S1 + S2 + ・・・ + Sn : 三角形の面積の合計(多角形の面積)
        (x1,y1) : 三角形S1の重心
        (x2,y2) : 三角形S2の重心
            ・・・・・
        (xn,yn) : 三角形S1nの重心

たとえ、原点が多角形の外にあっても大丈夫である。



エクセルを用いた7角形の重心計算


7角形の重心を計算しよう。

計算上、最後の3角形の面積計算のため、1番目の点座標を8番目にも設定します。


             図4 多角形(ポリゴン)の重心計算
 簡単ですね。

  グラフ作成方法の参考 : エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう


 



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