エクセルを用いた三角形、多角形（ポリゴン）の重心計算

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　　　　　　　　　図１　重心計算する多角形(ポリゴン)のグラフ

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多角形（ポリゴン）の定義

多角形の重心を求めよう。

n多角形はn個の点座標(x,y)で表現できる。

点1　(x1,y1)
点2　(x2,y2)
点3　(x3,y3)
点4　(x4,y4)
　　　　・
　　　　・
点n　(xn,yn)

三角形の重心計算

　三角形の場合、次の３点の頂点で構成されている。

点1　(x1,y1)
点2　(x2,y2)
点3　(x3,y3)

三角形の重心の公式より、重心(xg,yg)は次式となる。

　xg = ( x1 + x2 + x3 )/3
　yg = ( y1 + y2 + y3 )/3

原点と２点で作る３角形の面積

図２　３角形の面積計算の説明

　図２のような、原点(0,0)と点１(x1,y1), 点2(x2,y2)で構成される３角形の面積を求める。

ベクトル(x1,y1)とベクトル(x2,y2)が作る平行四辺形の面積(C)は

　C = x1・y2 - y1・x2　となる。

参照　：　エクセルを用いたベクトルの外積計算

三角形の面積(S)は平行四辺形の半分である。

よって、

　S = C/2

となる。

３角形の面積、重心を積算し、多角形の重心を求める

図３　多角形(ポリゴン)の重心計算の説明

　図３のように、多角形を分割した３角形の面積と重心を積算し全面積で割れば、ｎ多角形の重心(xg,yg)となる。

　xg = (S1・x1 + S2・x2 + ・・・　Sn・xn)/St

　yg = (S1・y1 + S2・y2 + ・・・　Sn・yn)/St

　　　　　　　　S1,S2,・・・Sn ：　三角形の面積
　　　　　　　 St = S1 + S2 + ・・・ + Sn ：　三角形の面積の合計(多角形の面積)
　　　　　　　　(x1,y1) ：　三角形S1の重心
　　　　　　　　(x2,y2) ：　三角形S2の重心
　　　　　　　　　　　　・・・・・
　　　　　　　　(xn,yn) ：　三角形S1nの重心

たとえ、原点が多角形の外にあっても大丈夫である。

エクセルを用いた７角形の重心計算

７角形の重心を計算しよう。

計算上、最後の３角形の面積計算のため、１番目の点座標を８番目にも設定します。

　　　　　　　　　　　　　図４　多角形(ポリゴン)の重心計算
　簡単ですね。

　　グラフ作成方法の参考　：　エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう

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