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 図１ ニュートン・ラプソン法の説明 |
非線形n元連立方程式 f(x) = 0 の実数解 x を求めるとき、ニュートン・ラプソン法(Newton-Raphson method)は非常に効率的な解法である。 f(x) = 0 を成分で表すと次式となる。 f1( x1, x2, x3, ・・・, xn) = 0 f2( x1, x2, x3, ・・・, xn) = 0 ・・・・・ fn( x1, x2, x3, ・・・, xn) = 0 ニュートン・ラプソン法は初期値x0を与え、次式により、第kステップの近似解から第k+1ステップの近似解を求め、反復計算を行う。   |
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例題として、次の非線形２元連立方程式を解く。 f1(x1,x2) = x12 + x22 -5 = 0 f2(x1,x2) = x12/9+ x22 -1 = 0 関数の微分は次式となる。 δf1/ δx1 = 2x1 δf1/ δx2 = 2x2 δf2/ δx1 = 2x1/9 δf2/ δx2 = 2x2 |
例題の非線形２元連立方程式を初期値 (x1,x2)=(1,1)とし、ニュートン・ラプソン法で解く。 今回の計算では、自分自身のセルを参照する循環参照を行うため、最大反復計算回数を設定する。メニューバーのツール→オプションを選択すると、次のオプション画面が現れる。この画面で計算方法として自動を選択する。反復計算にチェックをいれ、最大反復回数を１０に設定し、OKボタンをクリックする。  図2 オプション画面 図3のように、計算実行のYes,Noがリスト選択できるようにした。 参考：Excelの入力規則の設定  図3 リスト選択の設定 メニューバーのデータ→入力規則を選択すると、次のデータの入力規則画面(図4)が現れる。入力値の種類としてリストを選択し、元の値に計算実行の選択エリアを設定し、OKボタンをクリックすれば、図3のリスト選択が可能となる。  図4 データの入力規則画面 図5のように、解のセルを設定する。計算実行セルがyの場合、自分自身のセルから計算結果を引く。計算実行セルがnの場合、初期値を設定する。 計算式に従い関数値、行列を設定する。逆行列、行列の積の設定方法は次のウェブを参考にして下さい。 参考：Excelを用いた連立方程式の計算  図5 解のセルは循環参照となる 計算実行のセルをyに変更すると、図6のように、解が求まる。(関数値はほぼ0となっている)  図6 ニュートン・ラプソン法による解 |
