エクセルを用いたガンマ分布の計算

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図1 ガンマ分布の例題グラフ

ガンマ分布


 単位時間にλ人の訪問者があるウェブの場合、k人が訪問するまでの時間は次式の確率密度関数であるガンマ分布に従う。

  f(x) = {λ(λx)k-1/Γ(k)}・e-λx   ・・・ (1)

    x : 時間(x ≧ 0)
    λ:発生率
    k :事象の生起回数を表し、本来整数であるが、実数値に拡大された。
    Γ(k) : ガンマ関数
    参考 : エクセルを用いたガンマ関数の計算

 パラメータk=1の場合、ガンマ分布は指数分布となる。ガンマ分布はパラメータλ、kの組み合わせにより、より広範な分布形状を表現できるため、指数分布ではうまく表現できないような窓口サービス時間分布など、待ち行列の解析で広く用いられる。

 ガンマ分布の平均E(X),分散E(X2)は次の式となる。

 平均 E(X) = k/λ

 分散 E(X2) = k/λ2


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参考文献
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Excelを用いたガンマ分布の計算



 エクセルには次のガンマ分布関連の関数があり、計算に利用できる。

@ Γ関数の自然対数 GAMMALN(z)がある。そのため、ガンマ関数は EXP(GAMMALN(z))となる。
A ガンマ分布関数:GAMMADIST(x,k,β,関数形式)
    ただし、β=1/λ
    関数形式 FALSE:確率密度関数 TRUE:累積分布関数
B ガンマ累積分布関数の逆関数(確率値、k,βからxを逆算する)
    x=GAMMAINV(確率値,k,β)

 訪問者が1分間に5人来るウェブの場合、訪問者が100人になる時間の確立密度分布の計算は図2となる。


             図2 エクセルを用いたガンマ分布の計算例



 

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